矩阵力学的构造见于闻名的—海森堡—约当矩阵力学三部曲(1925)，和狄拉克的一篇论文(1925)。玻恩与约当1930年合著的Elementare Quantenmechanik(底子量子力学)对矩阵力学作了具体的论述。矩阵力学源起明白原子谱线强度的积极，关键是对频率求和规则借助类比方法的量子改造。矩阵力学的头脑底子说到底是傅里叶分析，那是跨度达两千年的人类聪明结晶。矩阵力学延伸了矩阵的算法。泡利于1926年利用矩阵力学解氢原子题目。
撰文 | 曹则贤 (中国科学院物理研究所)
1 引 子
本系列的目标是先容量子力学的详细建立过程，实现这一目标本领是对建立者所发表论文的解读与引用。固然，由于篇幅所限与笔者本领所限，昨们的引用是单方面的，解读也是单方面的，还会包罗一些错误。本系列会尽大概地提供原文、译文的出处，发起阅读适当的参考文献作为增补，敬请读者拨冗亲身阅读以形成本身的判定。在引文或转述的部门，笔者添加的本身的话会用{}括上，以免被误解为原文作者的意思。英文引文一样平常不作翻译。
本篇解读量子力学之矩阵力学情势。风趣的是，一样平常量子力学教科书乃至都不提矩阵力
力学得到的效果。但是，矩阵力学很难明，连温伯格(Steven Weinberg，1933—2021)如许的物理学巨擘都以为难明。在Dreams of a Final Theory (Pantheon Books，1992) 一书中，温伯格如许写道：“If the reader is mystified at what Heisenberg was doing, he or she is not alone. I have tried several times to read the paper that Heisenberg wrote on returning from Helgoland, and, although I think I understand quantum mechanics, I have never understood Heisenberg’s motivations for the mathematical steps in his paper”。这倒也道出来了题目的根源，从the paper that Heisenberg wrote on returning from Helgoland是肯定弄不懂矩阵力学的。温伯格如许的物理学巨擘认可本身不明白海森堡论文中的那些数学步调，大概与他不关注人们明白原子谱线之宽度与明锐度特性 (图1) 的积极有关。这些应该是原子物理教科书的内容，固然原子物理教科书里也没有。海森堡在慕尼黑大学当门生时即跟随索末菲(Arnold Sommerfeld，1868-1951)研究谱线的宽度与明锐度题目，见于文献：
[1] Arnold Sommerfeld，Werner Heisenberg，Bemerkungen über relativische Röntgendubletts und Linienschärfe (关于相对论性伦琴双线以及谱线明锐度的阐明)，Zeitschrift für Physik 10，393 (1922)；
[2] Arnold Sommerfeld，Werner Heisenberg，Die Intensität der Mehrfachlinien und ihre Zeeman-Komponenten (多重谱线的强度与谱线的塞曼分量)，Zeitschrift für Physik 11，131 (1922)。
图1 原子谱线。观察后思索，会发现光谱线有如下特性必要表征，包罗谱线的位置(频率)、谱线的强度(包罗强度为0的情况)、谱线的宽度、精致布局，以及谱线对外加电磁场的相应(Zeeman effect，Stark effect)，等等
毫无疑问，海森堡1925年思索的题目是他在慕尼黑研究工作的继承。海森堡1920年入慕尼黑大学学习，1922年即发表云云程度的论文，可见学术传承的紧张条件是有学术可供传承。索末菲是量子论的奠定人之一，他通过本人以及门下一众门生对近代物理的创建厥功至伟。
欲弄懂矩阵力学，得读玻恩—约当以及狄拉克1925年的文章以及玻恩—约当1930年的专著Elementare Quantenmechanik (底子量子力学)。不是基于原作者的原始论文而是基于厥后出现的回想录、陈诉、通讯以及文化学者们的研究闲谈，是一些涉及矩阵力学的学术叙述的通病。好比，不来梅大学的Günter Ludyk在Quantum Mechanics in Matrix Form (Springer2018) 一书中写道：“When returning from Helgoland (where he first had this crucial idea) to Göttingen, Heisenberg found out that the operations he applied to these tables were well known to mathematicians. The tables were called matrices, and the operations that he used to get from the table representing the electron velocity to the table representing the square was named matrix multiplication”，这纯属天花乱坠。在1925年那一年，海森堡不知道矩阵乘法，也没几个数学家知道矩阵。在1925年海森堡一人署名的文章 (不是他一人写的) 中，矩阵一词就没出现过，而创建矩阵力学的第一篇文章，包罗矩阵算法与基于矩阵的量子力学推导的，作者为玻恩和约当。笔者多年前曾言：“数学是物理学的语言，是物理学的工具，也是物理学的目标 (之一) ”。矩阵力学之于矩阵数学，就是支持第三条的例子。欲创建起矩阵力学，不但要知道矩阵算法，还得发展矩阵算法——量子力学表述有发展矩阵算法的需求。对这一点，玻恩、约当和狄拉克都做出了差别的贡献。
实际是，固然一年后有了颠簸力学另有了矩阵力学与颠簸力学等价的 (错误) 说法 (见后续文章)，矩阵力学远不如颠簸力学那么popular。人们其时接待颠簸力学，以及厥后的量子力学根本上都被体现成颠簸力学情势，是由于把薛定谔方程换成求本征值、本征函数的情势就是纯粹经典的数学物理方程题目了，连一点量子力学的味儿都没有。
2 矩 阵
矩阵是一个了不得的数学概念。Matrix，拉丁语的本义是子宫 (womb)，与mater (母亲) 同源。1850年，英国数学家James Joseph Sylvester (1814-1897) 造了matrix这个词 [ Additions to the articles in the September number of this journal, “On a new class of theorems,” and on Pascal’s theorem, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 37, 363—370 (1850)]。在第369页上有句云：“For this purpose, we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This does not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants…”. 别的，“I have in previous papers defined a‘Matrix’as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent [The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837—1853, Paper 37, p. 247]”界说了项的矩形阵列，之以是名之为matrix，由于就像从母亲的子宫产生孩子一样从这个矩形阵列中可以产生出差别的systems of determinant。笔者之以是不逐字翻译上述这段话，是由于我不知道该怎么翻译这里的determinant一词，我只知道当前的“矩阵值”译法肯定不对。从一个matrix产生出差别的systems of determinant，指的是从一个矩阵中可以划出差别的minor (汉译余子式)。
矩阵概念的提出，应该与线性方程组有关。现在昨们把n-个未知数写成x=(x1, x2, …, xn)的情势，则线性方程组可以简写为M∙x=c，此中c=(c1, c2, …, cn)是一组常数，而M是n×n个常数，排成一个方形阵列，就是英文的square matrix。Square matrix，方阵，看看这里出现的景象，它是不是对应方程啊。程，度量衡总称。《九章算术》卷八云：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言实在。令每举动率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。行之左右无所同存，且为有所据而言耳。此都术也，以空言难晓，故特系之禾以决之。又列中、左行如右行也”。固然啦，昨们把方程M当成了M∙x=c这个事物的团体，对应英文的equation，德文的die Gleichung。然而，西文的equation，die Gleichung，字面上是等式的意思，故他们学方程 (等式) 的时间天然而然地会关联上恒等式 (identity) 和不等式 (inequality)。好像咱们学方程的时间又亏损了不少。
矩阵作为某些对象 (实数、复数等) 的阵列，自己也可以作为一个对象，有属于它的代数 (加法与乘法)。矩阵满意联合律和分配律，但是一样平常来说不满意互换律。这恰是它能在量子力学中发挥作用的缘故原由。量子力学的一个被传得神乎其神的特点不外就是物理量 (算符) 的非互换性 (满意非互换代数。实在转动在经典力学里一样服从非互换代数)，矩阵恰好有这个性能。一个方矩阵，详细地可写成如下情势：
这里的矩阵元aij的指标选取(i, j=1,2,…n)具有肯定的恣意性，好比把上式改写成
也不要紧。不外，当指标(ij)接洽着其他物理量时，好比是和一个einωt因子联合在一起的，怎样选择就有讲求了。你会看到在矩阵力学中，符合的矩阵的标志应该是
的样子，即指标选为(i, j=0,1,…n)。矩阵力学的底色是傅里叶分析，傅里叶分析是和周期性存在相接洽的。厥后的量子力学教科书对这个题目没有感觉，其作者大概根本不知道量子力学在干嘛。
为了用矩阵表现量子力学，光知道矩阵这个概念，乃至还知道矩阵的加法与乘法，那是远远不敷的。至少，还应该会纯熟地对矩阵作为其他变量的函数以及矩阵作为变量的函数做微积分才行，这也是为什么笔者要夸大是约当和狄拉克这两个人对矩阵力学做出庞大贡献的缘故原由。没错，是约当和狄拉克这种学数学身世的年轻人对构造矩阵力学做出了庞大贡献。年轻不是创造的资本，年轻时学到了真本事才有创造的大概。
3 加快电荷的辐射题目
1887—1888年，德国人赫兹 (Heinrich Hertz，1857-1894) 在实行室产生了电磁波，这应该是电动力学汗青上的一个关键节点。1897年，电子的身份被汤姆孙 (J. J. Thomson，1856-1940) 建立，这是电动力学汗青上的另一个关键节点。如许，电动力学的面目改变了。从前的电动力学是电流的电动力学，如今要研究带电粒子的电动力学，而且要研究其辐射举动。这段时间的研究者有丹麦人Ludvig Lorenz (1829-1891)，荷兰人Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)，英国人Joseph Larmor，法国人Alfred-Marie Liénard与德国人Emil Wiechert，等等。英国数学家、物理学家拉莫 (Joseph Larmor，1857-1942) 的三篇同名文章中有关于加快电荷会产生辐射的理论，结论是加快电荷发射的功率
[1] Joseph Larmor, A dynamical theory of the electric and luminiferous medium, Philosophical Transactions of the Royal Society185, 719—822(1894)；
[2] Joseph Larmor, A dynamical theory of the electric and luminiferous medium, Part II, Proceedings of the Royal Society of London58, 222—228(1895)；
[3] Joseph Larmor, A dynamical theory of the electric and luminiferous medium, Part III, Philosophical Transactions of the Royal Society190, 205—300 (1897).
1900年，拉莫出书了Aether and matter (Cambridge University Press) 一书，书里有他关于这一段时间电动力学研究的总结。
关于加快电荷的辐射题目，尚有法国物理学家Alfred-Marie Liénard (1869-1958) 在1898年发表的三部门文章 [A. Liénard, Champ électrique et magnétique produit par une charge concentrée en un point et animée d'un mouvement quelconque (会合于一点的、处于某种活动的电荷所产生之电磁场)，L'Éclairage Électrique 16 (27,28,29), 5—14, 53—59, 106—112(1898)]，此中给出了电磁势的表达，且是相对论版的，可以用来盘算辐射的分布。1900年，德国人Emil Wiechert (1861-1928) 也独立发表了同样的效果[E. Wiechert, Elektrodynamische Elementargesetze(电动力学根本定律)，Archives Néerlandaises 5, 549—573(1900)；重刊于Annalen der Physik 309(4)，667—689 (1901)]。这个电磁势的表达被称为Liénard—Wiechert势。在低速情况，由Liénard—Wiechert势可以得到拉莫的效果。
拉莫的效果，即加快的电荷辐射电磁波，被称为Larmor Proposition (拉莫命题)，但并不特殊令人佩服。原子核就在转动，但并不辐射。根据广义相对论，加快度等价于一个匀称的引力场，不明白为什么加上一个引力场后一个本不辐射的电荷就辐射了。人们信赖，大概应该说在某些情况下加快电荷会辐射电磁波。固然，来自原子的辐射还表现出分立谱的特性，更是同已有理论不符。
玻恩、海森堡、约当的矩阵力学，观察的是电子辐射题目。其主要题目是加快电荷辐射之高阶项在量子论中该怎样表现的题目。至于这些辐射的高阶项公式来自谁的推导，笔者尚未找到确切的、一对一的出处。这些公式的表达，德语原文和英文译文好像都有错误 (见下)。
4 克拉默斯的色散关系
在量子力学出现的临界时候 (1924-1925)，一个值得关注的关键人物是荷兰物理学家克拉默斯 (Hendrik Anthony Kramers，也称Hans Kramers，1894-1952)，见图2。克拉默斯于1912—1916年在莱顿大学学习数学与物理，然后到哥本哈根自报家门 (visit unannounced) 跟随玻尔 (Niels Bohr，1885-1962) 做博士研究，但是却是在埃伦费斯特的名下于1919年在莱顿大学得到的博士学位 (此处也可见同德语国家学位制度的差别)。克拉默斯的博士论文标题为“Intensiteit van Spectraallijnen”，但论文内容是英文的，英文标题为“Intensities of Spectral Lines”，笔者推测这是为了照顾到丹麦—荷兰两方面的缘故。其内容，如其所言，为“On the application of quantum theory to the problem of the relative intensities of the components of the fine structure and of the Stark effect of the lines of the hydrogen spectrum (关于量子理论在氢谱线的精致布局与斯塔克效应的各单位之相对强度题目上的应用)”，这个句式连同the的用法真让人受不了。
图2 Hans Kramers在上课 (约在1921年)
关注原子谱线的相对强度是催生量子力学的关键。据克拉默斯所言，玻尔1918年有篇论文说基于量子理论可以答复谱线的极化 (偏振) 和强度题目 [不知道是不是指玻尔的Drei Aufsätze über Spektren und Atombau (论谱与原子布局三篇)]。笔者肤见，好像厥后的理论对谱线偏振的解释不怎么令人佩服，大概靠自旋概念就给办理了？光的偏振是体现在物理空间的，但昨们又说自旋是内禀自由度。这题目此处放下不提。
1924年3月25日，克拉默斯自哥本哈根发出一篇文章[H. A. Kramers, The Law of Dispersion and Bohr’s Theory of Spectra, Nature 118, 673—674 (1924)]，讨论色散关系。1924年1月5日，克拉默斯和海森堡自哥本哈根发出一篇文章[H. A. Kramers, W. Heisenberg, Über die Streuung von Strahlung durch Atome ( 论 原 子 对 光 的 散 射)，Zeitschrift für Physik 31(1), 681—708 (1925)]，得出了闻名的Kramers—Heisenberg色散公式。这就是玻恩构造量子力学时频频引用的克拉默斯与海森堡的色散关系。希奇的是，这篇文章竟然延宕了13个月才发表。
克拉默斯1924年的Nature 文章内容可总结如下。辐射场中的原子是球次波的源 (source of secondary spherical wavelet)。{笔者再次夸大，中文教科书把spherical wave翻译成球面波是错误的。Spherical wave，布满自源往外扩展的球形空间的波，球波。德语为Kugelwelle，用的是名词“球”，更确切无疑}。在原子的位置上，电场矢量为ε=Ecos2πνt。次波可以以为是由电偶极(varying electrical doublet)发出的,
爱因斯坦在1916-1917年发展了一套辐射的概率理论 (probabilistic radiation theory)，这指的是爱因斯坦为得到黑体辐射普朗克公式所作的积极。爱因斯坦的这个模子提供了研究辐射—原子相互作用的出发点。
关于色散题目的研究，拉登伯格 (Rudolf Ladenburg，1882-1952) 为此连续繁忙了20年，发表了50多篇文章，比方后期的R. Ladenburg, F. Reiche, Dispersionsgesetz und Bohrsche Atomtheorie (色散规律与玻尔的原子理论)，Die Naturwissenschaften 12(33), 672—673 (1924); R. Ladenburg, F. Reiche, Absorption, Zerstreuung und Dispersion in der Bohrschen Atomtheorie (玻尔理论里的吸取、散射与色散), Die Naturwissenschaften 11, 584—598 (1923)，等等。把原子当作虚谐振子的聚集 (a collection of “virtual harmonic oscillators”) 是拉登伯格在1924年论色散理论的文章中隐性地提出的。
直到1925年，辐射与原子的相互作用都是量子理论的主题。研究主角有玻尔，斯拉特 (John Clarke Slater，1900-1976) 和克拉默斯，效果见于比方J. C. Slater，Radiation and Atoms, Nature 113, 307—308 (1924)；N. Bohr, Atomic Theory and Mechanics, Nature 116, 845—852 (1925)。这三人互助的论文[N. Bohr, H. A. Kramers, J. C. Slater, The quantum theory of radiation, Philosophical Magazine, Series 6, 47(281), 785—802(1924)]被称为BKS理论，它不精确，但它在量子论发展史上非常紧张。
以上两节里的内容是明白矩阵力学之以是发生的物理配景。玻恩在他1924—1925年的原子力学教程、提出量子力学概念的论文以及建立矩阵力学的论文中都频频夸大克拉默斯的工作是不可忽略的。一样平常的科学史家会忽略这一点。至于关于矩阵的数学，笔者认可在阅读矩阵力学论文之前从未在那些linear algebra (线的代数。不是线性代数) 书里见到过相干内容。关于1885—1924年期间关于谱线研究的论文，笔者未能深入研读以给出一个清楚的汗青与物理内容的表述，甚为遗憾。
5 矩阵力学三部曲
1925年，德国哥廷恩大学的传授玻恩 (Max Born，1882-1970) 率同他的两位年轻助手海森堡(Werner Heisenberg，1901—1976)和约当(Pascual Jordan，1902-1980) 投出了三篇文章，此即俗谓的矩阵力学三部曲，分别是：
[1] W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen (活动学的与力学的关系的量子理论再解释)，Zeitschrift für Physik, 33, 879—893, 1925 (1925年7月29日收稿)；
[2] M. Born, P. Jordan, Zur Quantenmechanik (论量子力学), Zeitschrift für Physik, 34, 858—888,1925 (1925年9月27日收稿)；
[3] M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, Zur Quantenmechanik II (论量子力学 II), Zeitschrift für Physik, 35, 557—615, 1926 (1925年11月16日收稿) 。
请留意这三篇论文的标题、作者署名及次序、收稿日期，发稿地皆为哥廷恩！第一篇论文的标题是“活动学的与力学的关系之量子理论的再解释”，而第二篇、第三篇是同一篇文章的两部门，标题为Zur Quantenmechanik，但作者从玻恩—约当两人调解为玻恩—海森堡—约当三人。纯从这三篇文章纸面上的标题和作者安排来看，笔者倾向于以为建立矩阵力学的照旧玻恩 (背后的故事以后再说)。一年前玻恩引入量子力学一词时，文章标题为Über Quantenmechanik。若以为Zur Quantenmechanik和Über Quantenmechanik这两者是同一个标题，都可以译为“论量子力学”，这没有题目。但是，Zur=zu+der，介词zu就是英文的to，故而若我把Zur Quantenmechanik译成“走向量子力学”，好像更贴切，更能说明白点儿什么。固然，照旧要看文章的内容到底在说什么。从前不方便拿到论文的德文原版，也没有英文译本，昨们只能靠他人的三言两语引用来管中窥豹。现现在德文原文和英文译本都很轻易从网上得到，昨们照旧要本身研读、自行判定才好。这三篇论文的原文以及传播的英译本都有(排版)错误，请朋侪们阅读时留意。
5.1 第一篇
图3是矩阵力学三部曲第一篇的截图。这篇文章是海森堡写了个稿，于1925年7月9日交给玻恩寻求引导的[Abraham Pais, Niels Bohr’s times: in physics, philosophy, and polity, Clarendon (1993); Helmut Rechenberg, Werner Heisenberg—Die Sprache der Atome ( 维 纳·海 森 堡 — 原 子 有 话 说)，Springer (2010)]。至于玻恩添加了什么内容，以及末了这篇文章是谁人定稿的，笔者不详。对的，标题内里没有量子力学一词，正文中也只出现过一次“quantenmechanischen”的字样，而“矩阵”一词则从未出现过。对活动学的和力学的关系的再解释或曰换个表达，目标是为一个基于原则上可观丈量之间关系的“量子理论的力学 (quantentheoretische Mechanik) ”奠基底子。
图3 矩阵力学三部曲的第一篇。此中的笔墨为“活动学的与力学的关系的量子理论再解释，来自哥廷恩的W. Heisenberg(1925年7月29日收稿)”
量子理论的情势规则 (formale Regeln) 对氢原子及其斯塔克效应 (Stark effekt) 是可用的，但是对置于交织电磁场下的氢原子，大概多电子的原子，就欠好使了。徐徐地，这些量子理论的盘算规则——其本质上是以经典力学的应用作为特性的——的失效被看作是对经典力学的偏离 (dieses Versagen der quantentheoretischen Regeln, die ja wesentlich durch die Anwendung derk lassischen
Mechanikcharakterisiertwaren, als Abweichung von der klassischen Mechanik zu bezeichnen)。{请各人留意，至少到此时，量子理论的特性是经典力学}。这种偏离 (Abweichung) 的说法是偶然义的。应该类比经典力学，创建一个量子论的力学 {请按照机理、学问来明白} ，此中只出现可观丈量之间的关系。作为对如许的量子论的力学之主要的、最紧张的Ansätze {可明白为建立底子，假设的条件，搭建效果。Ansatz(复数为Ansätze)来主动词ansetzen，就是setup。但是雷同的德语词会同时表现过程与效果，好比在肚子上搭建的效果，Bauchansatz，就是啤酒肚。在另一个物理语境中，Ansatz被汉译为预设解}，除了频率条件以外，另有克拉默斯的色散理论以及相干工作。
这个条件也只能把aα确定到尚差一个常数，这在半量子数出现的时间会带来困难。
式(A4)有一个同克拉默斯色散关系相接洽的改造情势，即所谓的Kuhn-Thomas-Reiche f-sumrule (频率求和规则){相干参考文献为W. Kuhn，Über die Gesamtstärke der von einem Zustande ausgehenden Absorptionslinien (从一个状态产生的吸取谱线的总强度)，Zeitschrift für Physik 33,408—412(1925); W. Thomas, Über die Zahl der Dispersionselektronen, die einem stationären Zustande zugeordnet sind (Vorläufige Mitteilung) [可以归于某个稳态的色散电子的数量(临时转达)]，Naturwissenschaften 13, 627(1925); F. Reiche, W. Thomas, Über die Zahl der Dispersionselektronen, die einem stationren Zustand zugeordnet (可以归于某个稳态的色散电子的数量)，Zeitschriftfür Physik 34, 510—525(1925)}。谱线频率求和规则是从原子谱线研究中天然而然引出的题目。由求和规则
5.2 第二篇
图4是矩阵力学三部曲第二篇的截图。这篇长31页的论文分为五个部门：导言；第一章，矩阵盘算；第二章，动力学；第三章，查验非简谐振子；第四章，电动力学批评。文章的作者为玻恩和约当。此文目标是把海森堡上一篇论文中的Ansätze发展成量子力学的体系理论 (zu einer systematischen Theorie der Quantenmechanik)，数学工具是矩阵盘算，力学的活动方程从变分原理导出，基于海森堡的量子条件可以由力学方程导出能量定理和玻尔的频率条件。{玻恩说此文会讨论分振动的相位(die Phase in den Partialschwingen)的意义。笔者提示，对一个物理量作傅里叶睁开，各分振动是否是独立的，相位是什么意思，这些是汗青久长的力学题目，也是导向量子力学的必经途径。一样平常的英文教科书里都不关注这个题目}。
图4 矩阵力学三部曲的第二篇。图中笔墨为“走向量子力学，来自哥廷恩的M. Born和P. Jordan(1925年9月27日收稿)”
海森堡为新的活动学和力学提出的Ansätze可明白为试图构建一个新的、确实契合的概念体系，而非借助或多或少人为的、硬性的同旧有概念的匹配 (künstliche und gezwungene Anpassung der alten gewohnten Befriffe) 以表明新的究竟。由于有对他的思索尚在新生状态 (in statu nascendi) 就知晓的便利，因此在他的研究一竣事昨们俩就开始去弄清晰他的Ansätze的数学情势内容(Begünstigt durch den Umstand，daß wir seine Überlegungen schon in statu nascendi kennenlernen dürften, haben wir uns nach Abschluß seiner Untersuchungen bemüht, den mathematisch-formalen Gehalt seinerAnsätze zu klären)。{玻恩这么说，是由于在这个阶段玻恩是哥廷恩大学的传授，海森堡是他的助手，约当是他的门生及助手。海森堡写下了前一篇文章里的一些效果给玻恩看，玻恩先是请前助手泡利帮助做此中的数学部门，泡利没有同意，后由约当接办完成。D. H. Delphenich的英文译文把“Begünstigt durch den Umstand，daß wir seine Überlegungen schon in statu nascendi kennenlernen dürften”翻译成“Encouraged by the fact that we can already understand his argument in statu nascendi”，不知是何故意。任意找个字典也会告诉你“Begünstigt durch den Umstand，…”约莫对应英文的“having the advantage that…”。} 昨们表明，在海森堡的底子上是可以告竣一个既同经典力学显着密切类比又包管具有量子征象标签性特点的量子力学之闭合的数学理论大厦的(auf der von Heisenberg gegebenen Grundlage das Gebäude einer geschlossenen mathematischen Theorie der Quantenmechanik in merkwürdig enger Analogie zur klassischen Mechanik, doch unter Wahrung der für die Quantenerscheinungen kennzeichnenden Züge zu errichten)。
(1)矩阵盘算
{玻恩1908年受闵可夫斯基辅导回哥廷恩做Habilitation，选择的研究方向是相对论。为此，数学家Otto Toeplitz (1881-1940)曾资助玻恩梳理矩阵代数知识，从而可以或许利用好闵可夫斯基空间矩阵以调和相对论和电动力学，这大概是玻恩熟稔矩阵盘算的缘故原由。玻恩和约当给出的他们学习矩阵知识的参考书是Maxime Bocher的Introduction to higher algebra, MacMilan(1907)和R. Courant，D. Hilbert, Methoden der mathematischen Phyik (数学物理方法)，Springer(1924)。这部门内容，比笔者本人在其他地方学到的矩阵要多一些。除了指出一样平常来说矩阵不对易以外，即pq≠qp，这部门的关键是铺垫了一些矩阵微分和矩阵函数的知识。起首，请留意，差别于一样平常数学书上的矩阵表现Mij，指标i,j 计数是从1开始，这篇文章中的矩阵指标是从0计数的，这一点非常紧张。笔者是在撰写《云端脚下》时思索这个题目的，并在2022年度中国数学学会年会的陈诉中论述了天然数须从0开始的来由，其时并未留意到玻恩和约当的这个做法。不知道一些量子力学教科书把矩阵力学里的矩阵指标计数改成从1开始时是否明确他们在干什么}。本文接纳矩阵盘算作为辅助工具，特殊是用矩阵表现量子理论的量的乘法。界说了矩阵的平
(2)动力学
动力学由坐标和动量形貌。作为矩阵可假设有情势：
(4)电动力学批评
当q是笛卡尔坐标时，绝对值平方|q(nm)|^2是跃迁概率。有个题目，电动力学的根本方程怎样根据新理论予以换个解释 (umdeuten) ？本文里的思量，有暂时性的特性。当前的理论与光量子理论 (Theorie der Lichtquanten) 的关系应该得到论述。电磁振荡的空腔是有无穷多个自由度的，但根据本征振动分析，可以过渡到非耦合的振子体系，因而昨们这里发展的理论是可以用来处置惩罚它的。由此可见根本电磁方程是线性的 (叠加原理)，这事儿具有特别意义(Dabei erweist sich der Umstand, daß die elektromagnetischen Grundgleichungen linear sind (Superpositionsprinzip), von besonderer Bedeutung)，如许关于电磁场的替换振子就是谐振的，能量定律之建立与量子条件无关(die Gültigkeit des Energiesatzes unabhängig von der Quantenbedingung)。{这一年，23岁的狄拉克也实时跟上了量子力学研究。在狄拉克那边，叠加原理成了出发点。此前笔者读狄拉克1930年的经典时，不停不知道为什么他那么夸大叠加原理。如今算是大概明确了。}
5.3 第三篇
这第三篇是对第二篇的连续，署名为玻恩—海森堡—约当三人，全文长59页 (图5)。内容大抵如下：第一章，单自由度体系；第二章，任何多自由度体系的理论的底子；第三章，与厄米特情势的本征值理论的关系{从时间上看，薛定谔1926年发表他的颠簸力学论文第一部门时应该没看到这篇。是否私下交换过，待考}；第四章，理论的物理应用。{这篇长文的数学部门和写作都是约当完成的。很多量子力学书乃至都不会提到约当这个名字，后续文章会回到这个题目}。
图5 矩阵力学三部曲的第三篇。图中笔墨为“走向量子力学II，来自哥廷恩的M. Born, W. Heisenberg和P. Jordan(1925年11月16日收稿)”
这篇文章太长，不方便在本文中具体分析。其末了部门把量子理论用于黑体辐射是亮点，笔者的《黑体辐射》对这部门未予充实器重，甚感遗憾。文章指出，量子论得出谐振子的能量为nhν，而这恰是普朗克要为空腔辐射预先假设的。文章说量子理论能证实分体积中熵的可加性(die Additivität der Entropiender Teilvolumina in der Quantenmechanik der Wellerfelder nachweisen könnte)，这正是爱因斯坦得到辐射场能量涨落的紧张出发点。很多方法能得到精确的普朗克公式，却不能得到精确的涨落表达。爱因斯坦的涨落公式里的一项是经典理论所没有的，量子理论补足了另一项{这部门请和爱因斯坦1917年的论文一起参详}。这篇文章还说，本没有什么反常塞曼效应(daß es also eigentlich gar keine anomalen Zeemaneffekte gebe)。大天然里本没有反常。假如物理学里有反常，那是物理学本心坏了。别的，论文中还用到了干涉涨落(Interferenzschwankungen)，德拜统计 (die Debyesche Statistik) 等概念。
这篇论文的部门内容，厥后在1930年的玻恩与约当合著的Elementare Quantenmechanik (底子量子力学) 一书中以更加清楚的方式论述了，读来更加易懂。试截取一段，方便读者朋侪相识矩阵力学的开端底子。物理量q, p有傅里叶变更：
此处的pτ，qτ，ν都是作用变量J的函数 {请参考经典力学的作用——角坐标}，
对上式两侧关于J求微分，得：
{读者朋侪看看一样平常量子力学教科书是否让你明白到对易式到底在表达什么。3月18日本文初稿完成时，笔者熟悉到qp-pq=1照旧圆方程。}
6 狄拉克对矩阵力学三部曲第一篇的相应
1925年对矩阵力学的创建有贡献的另有狄拉克 (P. A. M. Dirac, 1902-1984)的一篇论文[P. A. M. Dirac, The Fundamental Equations of Quantum Mechanics, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, 109(752), 642—653(1925)]。这时的狄拉克，刚从工程数学专业转学物理不外两年。顺带说一句，狄拉克1926年提交了第一篇量子力学博士论文，成了汗青上第一个量子力学博士，其导师为Ralph H. Fowler (1889-1944)。
海森堡的文章指出不是经典力学的方程有错，而是从方程得到物理效果的数学操纵必要改变 (the mathematical operations by which physical results are deduced from them require modification)。{下面这一段，解了我多年的狐疑}。经典力学是这么干的。观察一个u自由度的力学体系，假设坐标表现成多重傅里叶级数的情势
不随时间变更的量，必是个对角阵。对于稳态的形貌，经典定律是建立的 (the classical laws hold for the description of the stationary states)，特殊地能量是J 的函数。x(nm)H(mm)-H(nn)x(nm)=
(nm)ih/2π=-ω(nm)x(nm)h/2π，此即H(nn)-H(mm)=h/2πω(nm)，也就是玻尔条件。
7 泡利对矩阵力学的应用
泡利比海森堡大一岁，在慕尼黑大学索末菲那边是同门，又结业后都给玻恩做过助手。海森堡在1925年思索怎样盘算谱线强度期间同泡利有过不少交换。现实上，玻恩看明确了海森堡论文中要用到的数学是矩阵，于是要求泡利来完成此中的数学部门的，但泡利拒绝了。矩阵力学三部曲发表后，泡利敏捷跟上了这门新的力学，发表了[Wolfgang Pauli, Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik (新量子力学观点下的氢原子谱)，Zeitschrift für Physik 36(5)，336—363(1926)]一文，用它得到了氢原子光谱巴尔末项的表达。这成了第一个矩阵力学应用案例。泡利没有加入发展矩阵力学的事变，不知道泡利厥后悔恨过没有。笔者以为，犹如狄拉克的论文，泡利这篇论文是对矩阵力学的发展，是矩阵力学的有机构成部门。
顺带说一句，泡利这篇工作显然受到了在汉堡大学为其做助手的传授楞次的影响。楞次 (Wilhelm Lenz，1888-1957)，不是楞次定律的谁人楞次 (Heinrich Lenz，大概Emil Lenz，1804-1865)，以关于开普勒活动的研究而闻名，名字写入了Laplace-Runge-Lenz矢量这个概念中。楞次研究开普勒活动的量子态[Wilhelm Lenz，Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung (论受扰动开普勒活动的过程与量子态)，Zeitschrift für Physik 24(1)，197—207(1924)]，泡利借用这里的表述与方法进一步发展了矩阵力学。愚以为，楞次和泡利的两篇文章，加上薛定谔的颠簸力学解 (数学上得到了外尔的资助)，构成了对氢原子题目 (开普勒活动的量子版) 的量子力学处置惩罚。一样平常量子力学教科书和史书会从玻尔的量子化条件直接给出个氢原子波函数了事，楞次和泡利的文章鲜有人提及。笔者修习原子物理和量子力学时，不停不明确从平面型的经典力学行星模子怎么就一下子跳跃到了氢原子的三维波函数形貌，如今 (2024.04.17) 明确了这里根本没有跳跃，只是我不知道而已。大概，要求厥后评论量子力学的人具有最少的数学知识非常不合情面。如下是对泡利论文的摘录。
新力学可以精确地给出单电子原子的巴尔末项 (Balmerterme)，也可以用来讨论外加电磁场对氢原子光谱的影响。{玻恩等人的} 量子论原理的新表述相对于至今的多周期体系的理论 (Theorie der mehrfach periodischen Systeme) 是个巨大的进步。新理论中除了经典活动学量的均匀值以外只引入了调谐分振动 (harmonische Partialschwingungen)，其与两个状态之间的跃迁概坦白接相干。固然这个分振动不再看成原子中电子的“轨道”来明白了。{轨道是一个单一对象题目，而跃迁是牵涉两个对象的题目。这才是海森堡头脑的代价地点，也是数学表达要面临的题目。区别不在于可观丈量与非可观丈量}。在这个头脑上，玻恩—约当，狄拉克，以及玻恩—海森堡—约当进一步构建了这个理论，将之纳入一个数学体系 (weiter ausgebaut und in ein konsequentes mathematisches System
8 海森堡论及矩阵力学
在海森堡的著作中，带“量子”一词的有Die Physikalische Prinzipien der Quantentheorie[量子理论的物理底子，BI Hochschultaschenbuch(1930)]一书。该书由海森堡1929年在芝加哥大学的讲座结集而成，共80页。在这本书的第42，79，80页上提及了矩阵一词。海森堡在书中写道：“经典力学中两个傅里叶级数的乘积为
9 增补阐明
矩阵力学源起于海森堡关于谱线强度的思索，由玻恩和约当构造而成，其体系性提拔以及详细应用案例则是由狄拉克和泡利完成的。欲明白矩阵力学，本文先容的海森堡 (1925)，玻恩—约当(1925)，玻恩—海森堡—约当 (1925)，狄拉克 (1925) 和泡利 (1926) 这5篇文章是底子。由于篇幅和笔者程度所限，这里的先容是远远不敷以反映这些文章内容的全部。倘如有时间，笔者真想写一本《矩阵力学》的专著，由于在撰写本文的过程中我突然留意到了量子力学的二象性，量子更多地见于矩阵力学，而力学 (不是“力”学！)更多地表现在颠簸力学中。
矩阵力学来自对原子光谱的研究。关于后者，除了海森堡与索末菲的工作以外，拉莫和克拉默斯在这方面的工作非常关键。矩阵力学的欠好懂，愚以为很大水平上是由于对这两位的忽视，固然也是由于相干的知识比力深刻而且贫苦。关于量子力学这门学问自己具有的矩阵力学~颠簸力学二象性，容笔者瞎说哈，将颠簸情势的函数 (对应傅里叶分析) 应用于Hamilton-Jacobi方程，得到薛定谔方程；将约当的关系p=-iℏ∂ (来自矩阵力学) 应用于薛定谔方程，得到经典力学的数理方程。颠簸力学之以是大受接待，是由于将关系p=-iℏ∂代入薛定谔方程后得到的，是在经典力学、经典电动力学中到处可见的数理方程，那不外就是二阶微分算符在差别维度、差别对称性的空间中的本征值题目而已。
笔者以为，矩阵力学是同经典力学、经典电动力学血肉相连的，是可见到怎样构建量子力学的头脑实验的。此文中提到的5篇矩阵力学论文，玻恩、约当1930年合著的《底子量子力学》，狄拉克1930年著的《量子力学原理》，冯诺依曼1932年所著的《量子力学的数学底子》，可作为修习矩阵力学的绝佳参考。一本不包罗矩阵力学部门的量子力学教科书，是有瑕疵的。
玻尔量子化条件里的量子数n，索末菲的研究表明它对应量子标签(nkm)中的k[大概是现在暗号的(nlm)中的l ]。之以是会有这个错误插曲的发生，那是由于对于未加外场的氢原子，其量子状态是退化的 (entarted，degenerated.汉译简并)。实行上加电场和磁场 (文献中会表述为垂直的电场与磁场) 会将退化去除 (Aufhebung) 从而让题目全面显现出来，泡利在使用矩阵力学求解氢原子题目时则是使用了pz，L2必须是对角阵从而引入对应的量子数。模含糊糊熟悉到体系存在退化，通过消除退化把题目充实体现出来得到关于题目的充足复杂的解，反过来了熟悉了什么是退化，这应该是科学方法论的一个有代价案例吧。
对应原理在矩阵力学的创建过程中饰演着紧张的脚色。然而，对应原理不是那些英文量子力学史大概量子哲学里字面上的对应原理，而是借助类比 (Analogon) 把经典色散关系写成量子论的表达情势，那才是量子力学的基石，见得学问创造者的功夫。
一个希奇的征象，在当前这个阶段讨论原子物理，包罗光谱、原子力学、矩阵力学和颠簸力学，一些著作好像不能明白地域别电子的活动表述(坐标、动量、轨道大概角动量、Laplace-Runge-Lenz矢量、能量、跃迁概率等)与辐射提供的可观丈量 (包罗谱线的频率、强度、宽度、偏振、精致布局、塞曼效应，斯塔克效应等)。电子 (原子里的电子) 与辐射 (来自原子的辐射) 是一个硬币的两面，那是一个硬币啊，那是两面啊。
汗青上，矩阵力学三部曲之第一篇论文源起海森堡思量谱线强度题目。海森堡把一些想法写下来交给玻恩，玻恩熟悉到这内里的矩阵题目，于是请数学比力好的泡利帮助做数学演算部门。泡利没担当这件事，玻恩又转而让数学比力好但更年轻的助手约当来做。至于对这篇文章约当做了多少数学、写了多大的篇幅，笔者未见到详细可靠的文献。读者可将这篇论文与海森堡1927年本身写的关于不确定性原理的论文以及专著Der Teil und das Ganze (部门与团体) 做个比力，看看有什么不一样。
矩阵表现有两个指标。关于跃迁过程，那是涉及两个状态的产生光的过程。以是，由跃迁过程导向矩阵力学的创建，有其内涵的一定性。想起一个题目，就是有些人所谓的跃迁时间的题目，有人乃至把某个能级的寿命同两个能级之间跃迁所造成的谱线之宽度接洽起来，并硬说这两者之间有倒数关系，不知道是怎样忽视电子寿命是关于一个能级的题目 (大概说一个能级相对全部其他能量更低能级的题目) 而跃迁是关于两个特定能级的题目此一究竟的？愚以为，评论两个能级之间跃迁的过程 (用时，time duration) 是对跃迁过程的误解。跃迁何时发生偶然间的题目，但电子跃迁不存在从能级1到能级2的题目。打个非常适当的比喻。完婚是牵涉到一对男女的题目。固然完婚相对于其他物理变乱 (好比钟表指针位置) 是有确切的时间标志的，乃至这一对男女领完婚证的时间有先有后，但是他们成为法律意义上的一对夫妻在他们两人之间却是没偶然间性过程的。电子跃迁，就发生时候而言，对两个能级是不加区别的。
狄拉克思量矩阵力学题目，一上来就敢发展矩阵算法。厥后他还针对创建量子力学用到了
式分解，拜见其所著的《量子力学原理》一书。一个人学电气工程、学数学，到21岁上得到硕士学位，转到剑桥大学去学习相对论，在23岁上即依附一篇量子力学论文一鸣惊人，还在1926发展了相对论量子力学、1928年提出正电子的概念，在玻恩提出量子力学一词不外6年后即撰写了量子力学经典，这是怎样的古迹？是谁教狄拉克碰到必要新数学的情况就本身去构造的？笔者特殊狐疑的是，对着没有交接过这些奇特数学的量子力学教科书，一些老师和门生是怎么做到不狐疑的？
请答应我瞎说，狄拉克1928年提出相对论量子力学的工作是他关于矩阵力学工作的连续。相对论量子力学的关键是狄拉克矩阵。及至厥后外尔 (Hermann Weyl，1885-1955) 和维格纳 (Eugene Wigner，1902-1995) 参加了量子力学表现的积极，所利用的工具是群论。群表现所利用的工具是矩阵。将来的关于强相互作用的盖尔曼 (Murray Gell-Mann，1929-2019) 的规范场论，其关键是Gell-Mann矩阵。矩阵对量子力学的意义，请读者朋侪细致掂量掂量。好比，愚以为矩阵力学对今后一年诞生的颠簸力学的紧张意义是为其预备了概念体系。
为什么许多人提及量子力学时更乐意评论“怪力乱神”？我推测是由于未在经典力学和数学物理方面上下过功夫。就矩阵知识而言，笔者此前看过的矩阵分析的书，包罗线的代数 (不是线性代数！) 的书，都没有到达玻恩—约当的高度，更没有提示昨们可以象狄拉克那样，在必要时可以自创矩阵算法。我越来越讨厌那些把一个主题只是浮光掠影点到为止地先容几句的书。假如你想评论一个主题，请尽大概全面、深刻地评论，懂不懂的那是读者的事变。但是，若作者只先容一些皮毛还故意地暗示这是一出出色大戏之全部，那就有点儿不太符合了！
参考文献
[1] Born M. Verlesung über Atommechanik (原子力学教程). Springer，1925
[2] Green H S. Matrix Mechanics. P. Noordhoff Ltd.，1965 {作者是玻恩的门生，玻恩为本书做了序。不外，这本书中有许多不合究竟的地方，好比关于普朗克是怎样得到黑体辐射公式的。}
[3] Ludyk G. Quantum Mechanics in Matrix Form，1st ed. Springer，2018
[4] Mehra J，Rechenberg H. The Formulation of Matrix Mechanics and its Modification. In：The Historical Development of Quantum Theory，Vol. 3. Springer，1982
[5] Lewis E P (ed.). The Effects of a Magnetic Field on Radiation：Momoirs by Faraday. Kerr and Zeeman. American Book Co.，1900
[6] Haar D T. Master of Modern Physics—The Scientific Contributions of H. A. Kramers. Princeton University Press，1998
本文经授权转载自微信公众号“中国物理学会期刊网”，原文刊发于《物理》2024年第5期。
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